روش وزن‌های مشترک، روشی است که برای پاسخ‌گویی به سؤالات و ایراد وارده به روش تحلیل پوششی داده ها، ایجاد شده است. این روش برای اولین در سال ۱۹۹۰ توسط کوک و همکارانش[۱۱۴] ارائه گردید (کوک و دیگران، ۱۹۹۰). در روش وزن‌های مشترک، با بهره گرفتن از مدل و روش‌هایی، وزن‌هایی برای ورودی و خروجیهای واحدهای تحت ارزیابی محاسبه می شود که به عنوان مبنایی برای ارزیابی و محاسبه کارایی واحدها قرار می‌گیرد، به عبارت دیگر در این روش بر خلاف روش تحلیل پوششی داده ها که برای عاملی یکسان به تعداد واحدهای تحت بررسی وزن در نظر می‌گیرد، برای عاملی یکسان، فقط یک وزن در نظر گرفته می شود.
هدف اصلی این ایده، ایجاد پایه و مبنایی مشترک برای رتبه بندی واحدهای تصمیم گیری با ارائه وزن‌های مشترک است (لویی و پنگ[۱۱۵]، ۲۰۰۸٫، ماکویی[۱۱۶] و دیگران، ۲۰۰۸).
تا کنون برای محاسبه وزن‌های مشترک روش‌های گوناگونی ارائه شده است که با بهره گرفتن از برنامه ریزی خطی و غیرخطی، مجموعه وزن‌های مشترک را محاسبه مینمایند. در بسیاری از روش‌های یافتن وزن‌های مشترک، ابتدا کران بالا و پایین وزن‌های ورودی و خروجی محاسبه می شود و سپس مجموعه وزن‌های مشترک را مییابند. در بعضی از روشها، کران بالا را با گرد کردن و حذف بیشترین وزن و کران پایین را با حذف وزن‌های صفر و گرد کردن کوچک‌ترین وزن، به دست می آورند (ساعتی، ۱۳۹۱).
در زیر به سه مدل از مجموعه مدل‌های ارائه شده برای محاسبه وزن‌های مشترک اشاره شده است:
۱-۳-۵-۳-۲- مدل سان و همکاران (۲۰۱۳)
سان و همکاران در سال ۲۰۱۳ برای ارزیابی عملکرد واحدهای تصمیمگیری و رتبه بندی آن ها، با در نظر گرفتن واحدهای مجازی ایدهآل و ایدهآل منفی[۱۱۷] دو مدل معرفی مینمایند و نشان می‌دهند که نتایج حاصل از هر دو مدل یکسان است. در مدل اول به دنبال حداقل کردن فاصله تمامی واحدها از واحد ایدهآل میباشند با توجه به اینکه کارایی واحد ایدهآل برابر با یک در نظر گرفته می شود و در مدل دوم نیز مدلی مشابه مدل اول ارائه میگردد با این تفاوت که بجای واحد ایدهآل، واحد ایدهآل منفی در نظر گرفته می شود.
بنا به تعریف سان و همکاران، واحد ایده آل واحدی است که از کمترین ورودی ها بیشترین خروجیها را تولید می کند واحد ایدهآل منفی که نقطه مقابل واحد ایدهآل قرار دارد، واحدی است که از بیشترین ورودی کمترین خروجی را تولید می نماید. لذا با در نظر گرفتن n واحد تصمیم گیری که هر یک از m ورودی برای تولید s خروجی استفاده می‌کنند، ورودی ها و خروجیهای واحدهای مجازی به صورت زیر تعریف میشوند:
ورودیهای واحد ایدهآل xi I = min (xij j=1,2,…n) , (i=1,2,…,m)
خروجیها واحد ایدهآل yr I = max (yrj j=1,2,…,n) , (r=1,2,…,s)
ایدهآل منفی ورودیهای واحد xi A = max (xij j=1,2,…n) , (i=1,2,…,m)
خروجیها واحد ایدهآل منفی yr A = min (yrj j=1,2,…,n) , (r=1,2,…,s)
با توجه به اینکه نتایج حاصل از هر دو مدل یکسان می‌باشد، لذا در زیر به معرفی مدل اول پرداخته می شود.
با در نظر گرفتن واحد ایدهآل، مدل ارائه شده به صورت مدل ۲-۳۰ می‌باشد، در این مدل کارایی واحد ایدهآل برابر با یک در نظر گرفته می شود و کارایی تمامی واحدهای تحت بررسی با در نظر گرفتن محدودیت یک بودن کارایی واحد مجازی ایده آل حداکثر می شود.
مدل ۲-۳۰
s.t
j=1,2,…,n
سان و همکاران اشاره می‌کنند که جواب بهینه مدل ۲-۳۰، جواب واحدی نمی باشد. لذا برای رفع این مشکل مدل ۲-۳۱ ارائه میگردد، که در آن D*I جواب بهینه مدل ۲-۳۰ می‌باشد.
s.t
مدل ۲-۳۱
j=1,2,…,n
j=1,2,…,n
و در نهایت نشان می‌دهند، که تابع هدف مدل ۲-۳۱ به علت داشتن هشین ماتریس مثبت، محدب است و همچنین محدودیتهای آن نیز یک مجموعه محدب غیر تهی را میسازند، پس مدل ۲-۳۱ دارای یک جواب بهینه می‌باشد.
۲-۳-۵-۳-۲- روش وزن مشخصه
برای دستیابی به یک وزن مشترک از مجموعه وزن‌های ورودی و خروجی باید به رابطه منطقی بین وزنها رسید. در این روش بر خلاف روش‌های دیگر کارایی واحدها به عنوان عامل برتری یک وزن نسبت به وزن دیگر می‌باشد.
در مرحله اول، وزنها و کارایی تمام واحدهای تصمیمگیری را با مدل CCR به دست می‌آوریم. در مرحله دوم CCR مجموعه وزن‌های ورودی ها و خروجیها را که در مرحله اول با مدل CCR به دست آوردیم مورد بررسی قرار داده و مجموعه مشترک وزن‌های ورودی را از رابطه ۲-۱۴ به دست می‌آوریم:
=
i=1, 2, 3, …m
رابطه ۲-۱۴
که در آن (i=1,2,…,m) وزن‌های مشخصه ورودی و (i=1,2,…,m) وزن ورودی iام متعلق به واحد jام و (j=1,2,…,n) کارایی واحد jام می‌باشد که از مدل CCR به دست می آید. در روش وزن مشخصه، یک میانگین از وزن‌های ورودی می‌باشد که سهم هر وزن در این نسبت به میزان کارایی می‌باشد. در نتیجه هر وزن که متناظر با کارایی بیشتری باشد اثر بیشتری در وزن مشخصه خواهد داشت. به طور مشابه، مجموعه وزن مشترک خروجیها را از رابطه ۲-۱۵ به دست می‌آوریم:
=
رابطه ۲-۱۵
j=1, 2, 3, …s
که در آن، (r=1,2,…,s) وزن مشخصه خروجی rام، (r=1,2,…,s) وزن خروجی rام واحد jام می‌باشد که از مدل CCR به دست می آید و (j=1,2,…,n) کارایی واحد jام می‌باشد که از مدل CCR به دست می آید.
مزایای این روش این است که بدون حل مدل جدیدی و با بهره گرفتن از نتایج مدل CCR، مجموعه مشترک وزنها را به دست می‌آوریم. مجموعه مشترک وزنها در این روش، تناسب مناسبی را از عوامل وزن و کارایی در نظر می‌گیرد. در این روش نه از وزنی صرف نظر و نه گرد می‌شود بلکه یک وزن مشترک با نزدیک‌ترین ویژگی به تمام واحدها در نظر گرفته می‌شود. بعد از اینکه مجموعه مشترک وزنها را به دست آوردیم، باید کارایی واحدهای تصمیمگیری را توسط رابطه ۲-۱۶ محاسبه کنیم:
رابطه ۲-۱۶
j=1, 2, 3, …s
