۱- هموتوپی به طول ، بین دو مسیر و از بهبا طول‌های یکسان.
۲- هموتوپی بین دو مسیر و از به با طول‌های متفاوت. در این مورد و را اصطلاحا ً دو مسیر هم‌ارز می‌گوییم.
تعریف ۲-۲۱٫ هموتوپی به طول
فرض کنیمودو مسیر از به ، با طول‌های مساوی هستند. یک هموتوپی به ‌طول ازبه توسط تابع پیوسته‌ی به‌صورت زیر تعریف می‌شود:
به ‌طوری‌که
توجه داشته باشید که برای هر در ، مسیر یک مسیر در می‌باشد. در واقع می‌توانیم خانواده‌ی را به عنوان یک “خانواده‌ی پیوسته از مسیرها” بین ودر نظر بگیریم.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

بنابراین ما نماد را به عنوان هموتوپی از به استفاده می‌کنیم.
گزاره ۲-۲۲٫ رابطه‌ی هموتوپی از طول ، یک رابطه‌ی هم‌ارزی می‌باشد.
برهان. خاصیت بازتابی :همواره یک هموتوپی یکتا به طول صفر ازبه وجود دارد.
خاصیت تقارنی: اگر یک هموتوپی به طول باشد، آن‌گاه که توسط تعریف می‌شود یک هموتوپی از به می‌باشد.
خاصیت تعدی: اگرو به ترتیب دو هموتوپی به طول‌های و باشند، جایی‌که ، و، مسیرهایی به طول از به y هستند، آن‌گاه جمع و به صورت زیر تعریف می‌شود:
درداریم:
بنابراین چون و پیوسته و در نیز ، پس بر اساس لم چسب، پیوسته می‌باشد.
همچنین برای هر، داریم:
و
و داریم:
بنابراین.■
نکته ۲-۲۳٫ فرض کنید یک هموتوپی به طول از به باشد به طوری‌که و مسیرهایی از به به طول می‌باشند، آن‌گاه یک هموتوپی به طول ۱ وجود دارد که آن را به شکل زیر تعریف می‌کنیم:
برای هر، داریم:
و برای هر ، چون ، داریم:
توجه ۲-۲۴٫ برای هر عدد حقیقیو ،فرض کنید، نماد یک مسیرثابت در به طول باشد. بدون از دست دادن کلیت مسئله، را بانشان می‌دهیم.
بنابراین برای هر مسیر و ، مسیرهای و خوش تعریف می‌باشند.
گزاره ۲-۲۵٫ فرض کنید و دو مسیر از به و و دو مسیر از به ‌باشند جایی‌که و.
۱- اگر ، آن‌گاه .
۲- اگر و ، آن‌گاه .
برهان قسمت ۱-
فرض کنیدیک هموتوپی از به باشد. آن‌گاه را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
بنابراین داریم:
و
پس می‌بینیم که یک هموتوپی بین ومی‌باشد.
برهان قسمت ۲-
فرض کنیدو ، آن‌گاه نگاشت را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
چون و پیوسته هستند و در داریم:
بنابراین براساس لم چسب، پیوسته می‌باشد.
از طرفی برای هر داریم:
و برای هر داریم:
بنابراین.■
تعریف ۲-۲۶: دو مسیر هم‌ارز
فرض کنیدو دو مسیردر از به باشند.اگراعداد حقیقی وجود داشته باشند به طوری‌که و هموتوپ باشند، و را هم‌ارز گوییم که در این‌صورت باید
گزاره ۲-۲۷: رابطه‌ی بالا یک رابطه‌ی هم‌ارزی است.
برهان. خاصیت بازتابی: چون رابطه‌ی هموتوپی دارای خاصیت بازتابی است بنابراین برای ،پس و هم‌ارز می‌باشند.
خاصیت تقارن: چون رابطه‌ی هموتوپی دارای خاصیت تقارن می‌باشد، بنابراین برای، اگر، آن‌گاه ، پس اگر هم‌ارز با باشد، آن‌گاه نیز با هم‌ارز می‌باشد.
خاصیت تعدی: فرض کنید با و با هم‌ارز باشند، هموتوپی‌های ووجود دارند جایی‌که و و مسیرهایی در از به هستند و ، بنابراین هموتوپی‌های زیر را داریم:
چون، و، پس طبق گزاره۲-۲۶ قسمت۲، داریم:
و چون، بنابراین
پس