کلیه مطالب این سایت فاقد اعتبار و از رده خارج است. تعطیل کامل

اثبات: با بهره گرفتن از تعریف حدهای بالا و پایین و لم۴-۲-۱۴ نتیجه حاصل می شود.
حال آماده ایم که نتیجه ی مهم این بخش یعنی همگرایی روش تفاضل متناهی صریح- ضمنی را ارائه دهیم.
۴-۲-۱۶ قضیه: مسأله ی ارزش گذاری اروپایی() را ، با در نظر می گیریم. اگر یک تابع تکه ای پیوسته کراندار روی باشد، آن گاه برای همه ی و، جواب مسأله ی گسسته به جواب مسأله ی پیوسته همگرا است:

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

اثبات: فرض کنیم و به طوری که . تعریف می کنیم و . با توجه به این که و ، بنابراین و در دامنه ی مولد بی نهایت کوچک قرار می گیرند و طبق قضیه ی ۲-۲-۱۰، و جواب هایی در از مسأله ی (۳۲) می باشند و همچنین نتیجه می گیریم و یک زیر و زبر جواب از مسأله ی کوشی (۳۲) می باشند.
بنابر نتیجه ی ۴-۲-۱۵
اگر و به طور دلخواه خیلی کوچک باشند ، نتیجه می شود :
بنابراین این قسمت از اثبات باقی ماند که تقریب های هموار مناسب را از بسازیم. برای این کار فرض می کنیم نقاط ناپیوستگی باشند و همچنین پرش های به وسیله ی ثابت کراندار هستند و به ازای داده شده، را به گونه ای انتخاب می کنیم که
پس با توجه به بالا و این که احتمال کوچکتر مساوی ۱ است:
تعریف می کنیم
پس
با توجه به این که ، پس برای ، دارای توزیع به طور مطلق پیوسته است . در نتیجه
بنابراین
در نتیجه

بنابر (۷۱) و (۷۲)
۴-۲-۱۷ تذکر: در قضیه ی ۴-۲-۱۶ فرض شد که است. این فرض را برای همه ی مدل های مالی می توان در نظر گرفت ، زیرا در بخش ۲-۳ یک عبارت معرفی شد حتی در حالتی که مدل پرشی محض با باشد.
۴-۲-۱۸ نتیجه: اگر ، آن گاه
نتیجه ی بالا نشان می دهد، روش صریح- ضمنی برای شرط آغازین در نقاط ناپیوستگی از همگرا نمی باشد. امّا در عمل مهم نمی باشد ، زیرا ما نیاز به محاسبه ی جواب عددی در نداریم .
قضایای ۴-۱-۱۵ و ۴-۱-۱۶ این اجازه را به ما می دهد که ارزش گذاری اختیارمعاملات را در مدل های لوی نمایی(در بخش ۲) محاسبه کنیم. امّا قضیه ی ۴-۲-۱۵ نرخ همگرایی را به دست نمی دهد . در قسمت بعد یک تخمین را برای نرخ همگرایی به دست خواهیم آورد .
در ساختار جواب های ویسکوزیته، نتایج نرخ های همگرایی برای روش های عددی معادلات مرتبه ی اول توسط کراندل و لیونز^[۸۵] [۲۹] و برای معادلات سهموی مرتبه ی دوم توسط کریلوف^[۸۶] [۳۹و۴۰] بیان شده اند ما رویکردی شبیه [۴۰] خواهیم داشت اما یک کران بهتر را به دست خواهیم آورد.
در ابتدا روش صریح ضمنی را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:
(۷۳) که در آن :

و
شبکه ی را در نظر می گیریم که و هستند فرض کنیم داده شده است. را فضای توابع کراندار روی
با فرم
می نامیم و همچنین برای

قبل از این که نرخ همگرایی را ارائه دهیم نیاز به ذکر مقدماتی داریم که در ادامه بیان خواهیم کرد.
۴-۲-۱۹ تعریف: اگر تابعی از مجموعه ای مانند در خودش باشد. نقطه ی را یک نقطه ثابت برایمی نامند، هرگاه .[۲]
۴-۲-۲۰ قضیه: اگر یک فضای متریک فشرده باشد و تابع به ازای هر در رابطه صدق کند آن گاه دقیقاً یک نقطه ی ثابت دارد.
اثبات: [۲].
۴-۲-۲۱ تعریف: اگر فضایی متریک باشد. تابع را یک انقباض می نامند، هرگاه عددی مانند وجود داشته باشد به طوری که به ازای هر متعلق به ،
عددیک ثابت انقباض نام دارد. [۲]
۴-۲-۲۲ قضیه: اگر هر تابع انقباض مانند که روی یک فضای متریک کامل مانند معین باشد، آن گاه دقیقاً یک نقطه ی ثابت دارد. یعنی نقطه ی منحصربه فردی مانند هست به طوری که . اثبات: [۲].
۴-۲-۲۳ لم: برای ،مسأله ی زیر را در نظر می گیریم :
که . الف) برای هر مسأله ی بالا یک جواب منحصر به فرد به صورت دارد.
ب) اگر باشد به طوری که و ، آن گاه
اثبات: الف) ابتدا (۷۴) و (۷۵) را به صورت در نظر می گیریم. تعریف می کنیم (۷۶)
به طوری که
یکنواست یا این که اگر آن گاه . بنابر (۷۳) داریم
برای کوچک (مثلاً ) داریم
حال تعریف می کنیم
بنابراین (۷۴) و (۷۵) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:
که در آن ، یا به طور معادل
جایی که
(۷۸)
بنابراین به عنوان یک اپراتور، روی تعریف می شود. حال ثابت می کنیم که یک انقباض است. بنابر (۷۸) داریم: