(۴-۲۲)
حال با توجه به رابطه فوق دو قید بر معادله تحمیل می‌شود:
الف)
با وجود این قید و با داشتن یکی از متغیرها می‎توان متغیر دیگر را به دست آورد:
(۴-۲۳)
در نتیجه تابع مطلوبیت و تابع تولید زیر حاصل می‌شود:
(۴-۲۴)
(۴-۲۵)
نکته‌ای که در این‌جا وجود دارد این است که توابع تولید و مطلوبیت به یکدیگر ارتباط دارند (کشش تولید نسبت به سرمایه و کشش مطلوبیت نهایی)
ب)
در این حالت با جایگزین کردن این دو متغیر از فرمول  ، رابطه زیر حاصل می‌شود:
(۴-۲۶)
یا
(۴-۲۷)
با حل این معادله درجه دوم جواب‎های زیر به دست می‌آید:
(۴-۲۸)
واضح است که فقط جواب دوم مورد قبول است، زیرا بین صفر و یک قرار دارد. در نتیجه توابع مورد نظر به صورت زیر می‌شوند:
(۴-۲۹)
(۴-۳۰)
پس تحت فروض و شرایط فوق هر نرخ رشد جمعیت بهینه می‌تواند امکان‌پذیر باشد. البته فرض ضمنی، برابری نرخ بهره با نرخ رشد جمعیت در این‌جا در نظر گرفته شده است که در مقاله دیاموند (۱۹۶۵) به این نکته اشاره شده است.

۴-۴) تحلیل بهینه بودن نرخ رشد جمعیت در قضیه خوش اقبالی

بعد از این‌که ساموئلسون مقاله خود را منتشر نمود، دردورف (۱۹۷۶) یک سال بعد نقطه نظراتی بر روی مقاله ساموئلسون بیان نمود. به طور کلی او شرایط کافی را در مدل ساموئلسون برقرار نمی‌دانست و اظهار داشت در حقیقت جواب او بهینه نیست. به جای این‌که مطلوبیت را حداکثر کند، حداقل می‌کند. دردورف برای نشان دادن این حالت از تابع کاب‌-داگلاس برای تابع تولید و تابع مطلوبیت استفاده کرد، یعنی علاوه بر فروض ساموئلسون، فرض کرد که:

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

(۴-۳۱)
(۴-۳۲)
(۴-۳۳)
به طوری که:

در نتیجه می‌توان تابع مطلوبیت را به صورت زیر نوشت:
(۴-۳۴)
حال با توجه به شرایط مرتبه اول، از حداکثر سازی تابع مطلوبیت برای رسیدن به قاعده طلایی می‌توان به معادلات زیر دست یافت:
(۴-۳۵)
(۴-۳۶)
این رابطه نشان دهنده نرخ نهایی جانشینی بین مصرف دو دوره جوانی و پیری است. که بیان می‌کند اگر یک واحد از مصرف دوره جوانی کم شود،  واحد به مصرف دوره پیری و در نتیجه مصرف کل اضافه می‌شود.
محدودیت بودجه نیز به صورت زیر است:
(۴-۳۷)
در این رابطه مصرف دوره دوم با نرخ یک تنزیل شده است. که این موضوع، از این حقیقت ناشی می‌شود که مدل، از لحاظ وزن مصرف (مطلوبیت) هیچ تبعیضی بین نسل‌ها قائل نشده است. به عبارت دیگر اگر بخواهیم طبق روش بنتام بیان نماییم نرخ تنزیل برابر با صفر است و وزن نسل‌ها یکی در نظر گرفته شده است.
در نتیجه از حل شرایط مرتبه اول و نیز جایگذاری در محدودیت بودجه خواهیم داشت:
(۴-۳۸)
(۴-۳۹)
جاییکه:
(۴-۴۰)
حال می‌توان تابع مطلوبیت را به صورت تابعی از نرخ رشد جمعیت نوشت:
(۴-۴۱)
با فرض:
(۴-۴۲)
معادله فوق که مطلوبیت قاعده طلایی را به صورت نرخی از رشد جمعیت نشان می‌دهد، جواب صریحی از رشد جمعیت است. حال برای رسیدن به بهینه ساموئلسون و امتحان کردن ویژگی‌های بیشتر این تابع، مجددا نسبت به  مشتق گرفته می‌شود:
(۴-۴۳)
(۴-۴۴)
برای رسیدن به نرخ بهینه رشد جمعیت ساموئلسون مشتق مرتبه اول برابر صفر قرار داده می‌شود:
(۴-۴۵)
حال می‌توان این شرط و مشتق مرتبه اول از تابع مطلوبیت را در مشتق مرتبه دوم جایگذاری کرده و به نتیجه زیر رسید:
در  (۴-۴۶)
در نتیجه به جای این‌که تابع حداکثر داشته باشد، حداقل دارد.